Die fünf platonischen Körper und die Eulersche Polyederformel

© Spektrum der Wissenschaft / Manon Bischoff (Ausschnitt)

Entferne die Stacheln

Tatsächlich bleibt am Ende immer genau ein Dreieck übrig. Sie können die drei aufgeführten Transformationen für jeden Polyeder ohne Loch durchführen, Sie erhalten immer ein Dreieck. Da alle Graphtransformationen den Typ des Euler-Polyeders unverändert lassen, ist das Ergebnis für jeden anderen Graphen, der ebenfalls von einem Polyeder abgeleitet wird, dasselbe. Da ein Dreieck aus 3 Ecken, 3 Kanten und 1 Fläche besteht, ist das Ergebnis: 3 − 3 + 1 = 1. Da der Graph immer eine Fläche kleiner hat als das ursprüngliche Polyeder, gilt für Polyeder: V − E + F = 2, wie Euler bereits bemerkt hatte.

Das mag nicht besonders spektakulär klingen, aber die Formel ist äußerst nützlich. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um unsere ursprüngliche Absicht zu beweisen: dass es nur fünf platonische Körper gibt! Diese symmetrischen Strukturen bestehen aus gleichen Polygonen (n-Ecken), jede Ecke genau M die Kanten kreuzen sich. Um herauszufinden, welche Polyeder diese Eigenschaften erfüllen können, suchen wir nach allen möglichen natürlichen Zahlen n und Mwelche die Eulersche Polyederformel erfüllen.

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Dazu müssen Sie zunächst die Anzahl der Flächen und Winkel eines Polyeders mit Zahlen multiplizieren n und M ausdrücken. Wenn jeder M Kanten schneiden einen Scheitelpunkt und jede Kante wird durch zwei Scheitelpunkte begrenzt, dann gilt: mv = 2m. Gleichzeitig bildet eine Kante immer eine Grenze für zwei Flächen. Denn jede Oberfläche weg n Kanten folgt daraus: n F = 2m. Das Einsetzen dieser Erkenntnisse in Eulers Polyederformel ergibt: 2mMm + 2mn = 2. Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen, indem man die Brüche auf den gemeinsamen Nenner bringt, summiert und invers bildet: 2nHinweis+2M2Hinweis = 1m. Etwas mehr Umordnung ergibt dann den Ausdruck: 1M + 1n = 1m + ½. Aus Summation 1m macht den Wert rechts einfach größer (er ist immer positiv), kann man dafür folgende Ungleichung verwenden n und M Beziehung: 1M + 1n > ½.

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Um also einen platonischen Körper zu erzeugen, werden seine Umkehrungen hinzugefügt n und M größer als 1/2 sein. Dort n und M natürliche Zahlen sind und größer als drei sein müssen (sonst kein Polyeder möglich), bleiben nur fünf Möglichkeiten: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) und (5 , 3). Daraus entstehen die bekannten platonischen Polyeder – andere kann es zum Beispiel nicht geben 13 + 16 < ½.

Brötchen-Triangulation

Damit haben wir dank Eulers Polyederformel überzeugende Beweise dafür gefunden, dass es genau fünf platonische Körper gibt. Aber die Formel ist nicht nur für das Studium von Polyedern nützlich. Tatsächlich verbirgt sich hinter der Gleichung ein viel allgemeineres Konzept, das auf alle Arten von Formen – und räumlichen Dimensionen – angewendet werden kann. Beispielsweise kann man eine Fläche mit einem Netz aus Dreiecken bedecken und dann die Formel des Polyeders berechnen: V − E + F. Das Ergebnis ist immer gleich, egal ob das Raster aus 6 oder 600 Dreiecken besteht. Für eine Kugel, z. B. Polyeder, ist das Ergebnis 2. Aber für andere Oberflächen, z. B. einen Bagel, ist das Ergebnis 0. Wie sich herausstellt, ist es so V − E + F = χ eine topologische Invariante, also eine Grundform, die verschiedene Objekte topologisch voneinander unterscheidet. Wenn also x für zwei Formen verschieden ist, sind sie auch topologisch verschieden. Für gewöhnliche zweidimensionale Flächen gilt sie V − E + F = 2 – 2großmit welchem groß ist die Anzahl der Löcher in der Oberfläche. Also für einen Keks (3 Löcher) x = −4.

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Und damit ist die von Euler vorgeschlagene Formel zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug geworden: Mit ihrer Hilfe kommen Topologen ihrem Ziel, geeignete Größen zur Kategorisierung verschiedener Entitäten zu finden, einen Schritt näher.

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